“学案导学，作业前移”教学案例
三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容。“三角函数图象的变换“为三角函数图象与性质的重要内容，是一节函数图象探究的重要范例，同时也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。在以前的教学当中，教师往往利用计算机操作相关的课件，直观展示图象的变化，引导学生观察分析得到图象变换的一般规律。可是在课堂上引导学生探讨三角函数的图象的横向变换时，因课堂上时间有限和方式局限，学生没有发现新东西，同时学生在解决由正弦函数的图象通过横向平移、伸缩变化得到函数图象的问题是，也常常发生错误。为了能让学生形成“积极主动、勇于探索”的学习方式，激发学生学习数学的兴趣，培养学生独立思考、积极探索的习惯，使学生体验到数学发现和创造的历程，发展他们创新意识，结合我校学生的实际情况，备课组根据某些课程的实际需要，大胆的进行教学模式的改革，采取“学案导学，作业前移”的模式进行教学。也就是教师课前根据教学要求，设计出教学预案和前移作业，学生在此案导引下进行“先学”，教师根据学生在学习过程中提出的问题和困惑以及“前移作业”中所发现的问题，再次修整教学案，形成最后的教案，根据此案进行教学。通过这种方式，学生得到了学习发现的快乐，教师也能更大幅度的提高课堂效率。 以下就是“三角函数图象横向平移的变换”课堂教学案例。
一、研究学习过程：
学习“到”的变换：
作业一：（1）由的图象怎样得到和的图象？
（2）由的图象怎样得到的图象？
（3）由的图象，用“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”的方法怎样得到和的图象？
作业二：你们知道的图象通过横向平移、伸缩变化得到函数的图象有哪些规律，都是针对哪个参数变化得到的？
师：我们前面研究过的图象，学习了“五点法“画函数的图象，下面我们只探讨与这两个函数图象之间的关系。
（板书课题：三角函数的图象横向平移变换）
师：通过前移作业的处理，大家是怎样研究这两个函数图象之间的关系的？
（学生思考，无人回答问题）
师：大家看作业一，由的图象怎样得到和的图象？
（学生齐声给出正确答案）
师：那么由的图象怎样得到的图象？
（学生齐声给出了正确答案，正待老师准备继续课堂教学时，一学生主动回答问题）
生1：如果图象向右平移个单位看成图象向左平移个单位，那么不论的正负，的图象都是由向左平移个单位得到。
（学生们向生投去肯定目光，考试给予肯定）
生2：我们组发现与的变换方向相反。
师：请你写到黑板上。
生2在黑板上画出示意图，（向右平移个单位），
（向左平移个单位），所以可以知道图象的横向平移变换方向，与“角”在数轴上对应点的平移变换方向相反。
师：你能给这个性质命个名字吗？
生2：就叫平移的反向性吧。
（师生一致同意）
根据上面的启示，结合前移作业二，师生共同探讨，由生3给出了伸缩的反向性：
画出示意图： （横坐标变为原来的倍），
（横坐标变为原来的倍），可知函数图象上点横坐标的伸缩变换方向，与“角”在数轴上对应点坐标的伸缩变换方向相反，并可以叫这个性质为伸缩的反向性。
师：由上面的探讨，可知道三角函数图象的横向变换与“角”在数轴上对应点坐标的伸缩变换比较具有反向性。
（检查前移作业三的情况发现：“先平移后伸缩”做的较好，而“先伸缩后平移”则出现了不少问题。）
师：我们来分析一下：“先伸缩后平移”。中的“？”应该等于多少呢？
生4：应该为。
师：要得到的图象，的图象应该向左平移多少个单位呢？怎样处理比较容易？
生5：应该为。以前在学习图象横向平移变换时，知道横坐标变换是针对自变量的，因此将提出来得到再进行平移，这样比较容易处理，也就是说要得到的图象需将的图象向左平移个单位。
师：那么由的图象，通过怎样的“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”变换得到的图象？
生6：横向平移是针对自变量而言的，图象变换如下：
（向左平移个单位）（横坐标变为原来的倍）；
（横坐标变为原来的倍）（向左平移个单位）；
师：总结的很好，大家一起看大屏幕。
（电脑演示两种变换过程）
一学生主动起立发问。
生7：我们发现图象横向变换顺序是烦的。
师：具体解释一下，可以上黑板写一下。
生7在黑板上写下：比较图象横向平移（加减）、伸缩（乘除）变化与对应角在数轴上点坐标的加减、乘除变化顺序：
（变为原来的倍）（增加（向右移）个单位）；
再比较图象横向伸缩变换与对应“角”的加减、乘除运算变化顺序。
（增加（向右移）个单位）（变为原来的倍）；
我们发现：三角函数图象横向平移、伸缩变换顺序与对应“角”在数轴上点坐标的加减、乘除混合运算顺序相反。这个性质我们可以给它称作为三角函数图象变换的反序性。
师：通过探讨，我们知道三角函数图象变换的具有反序性、反向性，那么它们有什么依据呢？
生8：可以设上的一点是由上的一点变换而来的，
则有，
取，则，即（向左平移个单位）
（横坐标变为原来的倍）；
可以发现在此变换过程中，图象变换与其角在数轴上点坐标的变换反序、反向。
二、应用反馈：
师：下面通过练习检验一下同学们的学习成果。
（大屏幕显示习题）
（1）函数图象上各点（纵坐标不变）横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位的到的图象的函数解析式为 ；
(2)函数图象向 平移 个单位，然后各点（纵坐标不变）横坐标伸长到原来的
倍，得到函数的图象；
（3）函数图象上的各点（纵坐标不变）横坐标伸长到原来的 倍，再向平移 个单位得到函数的图象。
三、总结成果：
师：谁能谈谈学习这节课后的体会？
生9：三角函数图象的横向变换都是针对而言的。
生3：三角函数图象横坐标的变换都有反向性。
生7：三角函数图象的横向复合变换（平移和伸缩）具有反序性。
生9：利用反序性、反向性，不仅可以根据函数式中“角”的运算顺序、运算量、确定图象的变换顺序、变化量，而且可以根据图象的变换顺序、变化量，确定“角”的运算顺序、运算量。
师：大家讲的都比较好，通过课前作业及课堂上的讨论，我们发现了三角函数图象的横向变换都是针对的和三角函数图象变换具有反向性，反序性，这是在课本上看不到的。所以只要我们善于观察，勇于探索，就能发现数学中很多有用好用的结论，并能应用于实际解题中来。相信大家在以后的学习当中能有更多的发现。
四、作业布置（略）
